[20]

Dove q è la quantità prodotta nel settore e, come sempre, la notazione “flussionale”, e , indica la variazione rispetto al tempo. Si noti che questo blocco sintetizza esattamente la stessa idea espressa nelle equazioni [6], [8] e [9]: la quantità si muove nel tempo a seconda del rapporto tra saggio del profitto del settore e saggio normale. Allo stesso modo il prezzo aumenta quando la domanda di mercato supera l’offerta.

Il limite di molti di questi lavori è che basano la gravitazione sugli spostamenti di domanda e offerta anziché sul movimento del capitale. Se nel breve periodo ciò è corretto, in un’analisi più complessiva è riduttivo e sviante.

Tuttavia, nell’estrema varietà dei modelli di questo genere, troviamo anche autori più attenti a catturare l’essenza della teoria classica.

Uno schema leggermente diverso è il seguente (Duménil e Levy, 1983):

[21]

dove:

A è un parametro dato

è la propensione marginale al consumo dei capitalisti

C è il vettore del consumo dei capitalisti (supposto fisso)

è il profitto

la domanda nel periodo precedente.

Infine:

[22]

Con un parametro che rappresenta il capitale utilizzato rispetto al capitale presente nell’economia (è un modo con cui, in questo schema, si cerca di rappresentare il verificarsi o meno della legge di Say). I risultati sono, date certe ipotesi sui parametri, una stabilità locale dei prezzi.

La logica di questi modelli è chiara. Si tratta di trovare un’equazione differenziale in grado di descrivere il processo di convergenza, l’oscillazione.

8. Il processo di gravitazione dei prezzi nello schema preda-predatore

Un cenno a parte va fatto per quei lavori che si basano sul ben noto schema “preda-predatore”. Volterra, e indipendentemente da lui Lotka, riuscirono a formalizzare il processo di equilibrio che si instaura tra due specie animali una delle quali predi l’altra. N. Kolmogorov, successivamente, generalizzò i loro risultati. Vediamo come si arriva alla dinamica che ci interessa.

[23a]

Con questa prima espressione sintetizziamo una situazione statica. La popolazione è stabile se i parametri, esogeni, sono tali che a=b, altrimenti il modello subisce una “catastrofe”, esplode o si annulla. Non c’è feedback. Questo schema ricorda il noto problema del “knife edge” dei modelli di crescita à la Harrod-Domar. Nulla assicura un cammino stabile nella crescita economica.

[23b]

Ora abbiamo introdotto un processo dinamico con cui la variabile considerata, originariamente la popolazione, si sviluppa. Come è ben noto la [23b] rappresenta una curva logistica, ovvero uno sviluppo rapido finché la popolazione non riempia l’ambiente, quindi una stasi. Adesso introduciamo la seconda variabile (il predatore):

[23c]

Qui c’è un chiaro processo di feedback. Le due variabili, specie animali in Volterra, sono ovviamente collegate. Troppi predatori distruggono la specie predata, tale distruzione riduce a sua volta il numero dei predatori e così via. La forma concreta che prende questo processo dipende dal valore empirico dei parametri.

Infine, si può generalizzare l’espressione:

[23d]

Integrando, si vede che il sistema è globalmente stabile. Ponendo si nota che il punto di equilibrio dipende dal valore numerico dei parametri.

Questo schema è stato impiegato più volte nel contesto dell’analisi della gravitazione. Tuttavia è interessante notare che le equazioni di Volterra furono utilizzate, sin dagli anni ‘30, soprattutto in un contesto macroeconomico, per lo più keynesiano. Tra i primi economisti a comprendere l’utilità di questo schema vi fu Goodwin, che cercava di continuare il lavoro di Harrod sul ciclo. I primi economisti keynesiani cercarono di formalizzare la General Theory in modelli dinamici in grado di catturare le idee di Keynes in merito al ciclo e alla crescita. Harrod, in particolar modo, fu il primo a proporre la nota ipotesi dell’acceleratore. Ma, come fece notare Tinbergen, l’acceleratore era contenuto in un’equazione lineare di primo grado, un’equazione dunque che esplode e non può mai dar luogo a cicli. Alcuni economisti proposero già allora, di legare i cicli a shock esogeni basati su processi stocastici del tipo white noise. Goodwin invece propose un modello non lineare in grado di sintetizzare l’andamento ciclico dell’economia capitalistica.

Altri economisti, tra cui Samuelson, svilupparono il modello dell’acceleratore in ambito neoclassico. Nello stesso periodo, ma in campo matematico, due studiosi sovietici, Pontryagin e Andronov, introducevano il concetto di stabilità strutturale di un sistema dinamico (1937). Tale concetto verrà utilizzato anche nella teoria economica per cercare di studiare processi simili a quelli qui analizzati.

Nel contesto qui analizzato potremmo utilizzare lo schema di Volterra come segue:

[24]

Dove:

a, b, c, d ed e sono parametri non negativi

corrisponde alla differenza tra prezzo di mercato e prezzo normale

O è la quantità prodotta in una certa sfera della produzione

corrisponde alla differenza tra il saggio di profitto del settore e quello normale.

L’equazione incorpora dunque il comportamento visto nel paragrafo 5: la concorrenza livella i saggi del profitto, i prezzi oscillano attorno al prezzo normale in base alle condizioni contingenti della domanda.

9. Conclusioni

Lo scopo di questo saggio voleva essere quello di mostrare come il processo di gravitazione dei prezzi di mercato ai prezzi normali sia un processo che realmente si da nel processo produttivo capitalistico, di cui anzi costituisce una tendenza ineliminabile. Si è anche cercato di mostrare come non vi siano ostacoli matematici nella rappresentazione di questo processo. L’unico limite è costituito dalla fantasia e dalla preparazione matematica del ricercatore. Una volta chiariti i fondamenti della teoria, la gravitazione è esprimibile sia in un contesto statico, sia in un contesto dinamico, lineare o non lineare. Inoltre, per quanto attiene all’utilizzo di taluni strumenti matematici, abbiamo osservato la loro rispondenza al cuore dell’analisi classica del valore e la loro capacità di sintetizzare efficacemente questa analisi.

Vorremmo qui trattare per concludere, un tema chiave legato alla teoria del valore classica rispetto ai contributi che Marx da ad essa. In questo saggio con il termine di gravitazione si è inteso essenzialmente quel processo per cui i prezzi di mercato tendono a oscillare attorno ai rispettivi prezzi normali, equivalendoli laddove non si manifestino fattori di disturbo[36]. Occorre tuttavia ricordare che, sebbene Marx abbia in mente questo processo e lo trovi del tutto fondato, nella sua analisi la gravitazione fondamentale è la gravitazione complessiva dei prezzi di produzione ai valori. E’ il problema già accennato delle “due eguaglianze” (che Marx affronta soprattutto nei capitoli IX e X del III volume del Capitale). Marx è interessato a come l’operare della concorrenza modifica la legge del valore. Considerando che la legge del valore domina qualsiasi economia mercantile, si tratta di analizzare come in specifico la legge si realizza nel capitalismo. Emerge che la concorrenza tra i possessori del capitale rende necessaria l’uniformità tendenziale del saggio del profitto, ovvero la loro remunerazione uniforme, senza tener conto della diversa composizione organica del capitale nei diversi settori. Questo comporta la nascita di un processo reale di trasformazione dei valori in prezzi. Comporta anche che l’economia ortodossa, annebbiata da questa trasformazione, dimentica l’analisi del valore sottostante ai prezzi e si concentra sulla loro manifestazione fenomenica: i prezzi di mercato.

I due processi di gravitazione che abbiamo descritto sono, in ultima analisi, due parti di un unico processo che conduce a una dinamica comune le membra separate e confliggenti del corpo produttivo. Sarebbe un errore schiacciarne una sull’altra. Non è un caso che i critici dell’analisi classica, per non parlare di chi fa come mestiere il critico della teoria di Marx, si siano concentrati sulle difficoltà nella gravitazione “finale”, quella tra prezzi normali e prezzi di mercato. In un certo senso è il loro ambiente naturale: tanto più si è vicino ai rapporti fenomenici, immediati, reificati tra le persone per il tramite del mercato, tanto meglio. Tutto il resto è certamente qualcosa di metafisico di cui non si può parlare. Perciò, concludono con Wittgenstein, di queste cose, di cui non si può parlare, è meglio tacere. Essi si occupano dunque del processo immediato, fenomenico della gravitazione, ignorando che esso è solo una forma finale di un movimento ben più importante e profondo che riguarda l’innovazione tecnologica, gli investimenti, il ciclo economico e in ultima analisi il modo stesso con cui si sviluppa il capitalismo. Per questo abbiamo definito l’analisi di questa gravitazione fenomenica come equilibrio parziale, intendendo con esso un’analisi del singolo mercato, del singolo produttore. A livello dell’economia come un tutto, non sorge naturalmente nessun problema di questo genere[37].

Quello che invece osserviamo è che il processo centrale, per comprendere l’andamento dei prezzi, è il processo di accumulazione e centralizzazione del capitale, che avviene anche tramite le oscillazioni dei prezzi. La concorrenza spiega queste oscillazioni, mentre a livello più profondo è la necessaria uguaglianza di tutti i capitali che conduce il lavoro socialmente necessario a divenire valore sociale e infine prezzo normale.

Infine, abbiamo descritto una serie di metodi matematici con cui le difficoltà presunte della gravitazione vengono agevolmente superate. Sebbene l’uso di questi metodi porterebbe l’analisi classica a competere, per rigore formale e raffinatezza matematica, con la frontiera dell’analisi marginalista, non è certo questa la via principale con cui la teoria classica, il paradigma eterodosso da oltre un secolo, potrebbe “riabilitarsi” agli occhi del mainstream-pensiero. Tali metodi hanno l’unico scopo di far vedere come non vi sia nulla di logicamente o in linea di principio sbagliato nell’analisi classica. Ma una volta dimostrata questa condizione necessaria, le argomentazioni matematiche non costituiscono una risorsa così vitale. In un certo senso la matematica è come la domanda e l’offerta: qualcosa di rilevante solo quando ci sono fattori che impediscono di vedere i veri processi ad esse sottostanti che strutturano e ristrutturano la nostra società.

Appendice

In questa ricerca abbiamo approfondito alcuni temi riguardanti il processo di gravitazione. Si sono visti i problemi della formalizzazione di questo processo. Si è anche visto che da un punto di vista analitico vi sono almeno due modi di considerare la gravitazione, uno “fenomenico” e uno “profondo”. In questa appendice intendiamo esporre alcuni metodi formali con cui si possono sviluppare queste idee.

A) Disturbi stocastici

Si potrebbe innanzitutto rappresentare il processo di gravitazione tramite un meccanismo di disturbo stocastico:

[1]

Dove il disturbo è del tipo white noise. Curiosamente, se utilizzassimo questo metodo, riporteremmo in qualche modo la teoria dei prezzi classica nell’alveo dell’ortodossia economica, visto che la macroeconomia moderna si basa tutta su questi processi. Il punto è che questi non sono meccanismi veramente dinamici.

In un breve lavoro, Parrinello propone una sorta di modello “Smith after Lucas” in cui la gravitazione è basata sulla ipotesi di aspettative razionali. Il modello è formato così:

[2]

Da cui:

[3]

Dove la differenza tra prezzo normale e prezzo di mercato è data da due disturbi distribuiti normalmente e incorrelati serialmente[38]. Il punto è che in tale modello non vi è un processo di gravitazione.

B) Processi armonici e oscillazioni

La “analisi armonica” parte dall’idea che un processo abbia un andamento ciclico nel tempo e che torni, dopo un certo intervallo, ad assumere valori già osservati. Questa periodicità nel tempo acquista naturalmente un senso se si spiegano le sue determinanti. Nel nostro caso il ciclo potrebbe essere dovuto all’andamento oscillante delle economie capitalistiche o potrebbe rappresentare la durata della tecnologia dominante. Potremmo avere:

[4]

In questo caso il parametro rappresenta la durata del ciclo economico o dell’innovazione e si ipotizza un movimento, nella deviazione dei prezzi di mercato rispetto ai prezzi normali, basata sulla fase del ciclo economico, o dell’introduzione della nuova tecnologia, attraversata. Anche qui non occorre addentrarsi negli strumenti matematici che occorrono per formulare concretamente un esempio (trasformazioni di Laplace, Fourier, ecc. Tali strumenti servono solitamente a verificare la stabilità o meno del modello in esame[39]). L’idea è di fornire un criterio in base al quale avviene il movimento della variabile considerata, solitamente un andamento sinuisoidale:

[5]

Dove, come nella [24], è la differenza tra saggio del profitto del settore e saggio normale, e a è un parametro (che potrebbe rappresentare il ciclo economico - per esempio, la differenza tra crescita della produzione nel periodo considerato e crescita media- oppure l’innovazione - per esempio la proporzione di produttori che adottano la nuova tecnologia).

Questa equazione ci dice che la differenza tra prezzi di mercato e prezzi normali dipende, come sempre, dall’operare della concorrenza via differenziali dei saggi del profitto. In questo caso l’oscillazione avviene in un periodo dato tra i vari settori. Nell’equazione [5] si considera un caso di oscillazione di un settore nell’ambito di un intero ciclo economico. Nella teoria dei prezzi le oscillazioni sono necessariamente basate su un processo di “feedback” come si dice tecnicamente, e il feedback è appunto costituito dalle forze della concorrenza che incessantemente riconducono i prezzi fenomenici ai prezzi di lungo periodo. Tuttavia tale feedback è automaticamente inserito nei modelli preda-predatore, il che contribuisce a spiergarne la diffusione. Qui dovremmo introdurre ipotesi sulla forma di a, senza le quali le ragioni della ciclicità rimangono esogene. La teoria matematica delle oscillazioni si sviluppa in ambiti molto complessi e difficili a volte da ricondurre ai problemi economici. Tuttavia essa permette di rispondere adeguatamente alle critiche “formalizzanti” di provenienza marginalista.

C) Biforcazioni, instabilità, caos

Per terminare questa analisi, riprendiamo il modello di Volterra per analizzare il problema della possibile instabilità del sistema. Abbiamo detto che il sistema, nella sua formulazione più completa, è stabile, come si può verificare con simulazioni numeriche o linearizzando. Tuttavia il valore che assumono concretamente i parametri è decisivo per la “sorte” del sistema. Lo si vede nel modo più lampante con l’equazione [23a]: se a è diverso da b, il sistema non è stabile. Esplode o si annulla. Di più, basta che a diverga infinitesimalmente da b perché ciò accada. Detto formalmente:

Questo significa che qualsiasi squilibrio non “tornerà indietro”. Due sistemi che abbiano parametri infinitamente vicini possono divergere. Questa sensibilità della dinamica del modello dalle condizioni iniziali, con possibilità che il sistema subisca una “catastrofe”, una “biforcazione” ecc., ci conduce ai sistemi non lineari cosiddetti caotici. Questi sistemi, di cui il modello macroeconomico di Goodwin costituisce un esempio classico, sono ormai largamente adoperati in molti settori e, per una volta, la teoria economica li ha utilizzati prima di molte altre discipline. Tuttavia, pur senza entrare in dettagli matematici, questo strumento ci sembra, nel processo della gravitazione, di scarso rilievo concettuale. Appare infatti molto difficile credere che due settori, in cui la divergenza tra prezzi normali e prezzi di mercato è infinitamente simile, possano avere sorti così diverse. Tuttavia la teoria delle oscillazioni non lineari si occupa di processi ciclici che hanno un certo interesse per la teoria dei prezzi.

Concludendo questo saggio daremo un esempio di un modello che parte da assunzioni molto usuali e giunge a questi risultati[40].

Dividiamo l’economia in due settori, consideriamo solo rendimenti costanti e tecnologie “quadrate” (ovvero la matrice A degli input tecnologici è produttiva indecomponibile ecc.). Infine i salari sono a livello di sussistenza e i profitti sono interamente reinvestiti.

I prezzi saranno:

[6]

Ora poniamo il salario, che come sempre nell’analisi classica è noto prima degli altri prezzi, come numerario. In questo modo i prezzi saranno espressi in lavoro comandato. Date le ipotesi sulla tecnologia, troviamo i tipici due limiti al saggio del profitto normale:

Le due condizioni per evitare la possibilità di prezzi negativi sono:

Ora introduciamo l’idea di una crescita composta dalla riproduzione semplice più una certa crescita attesa. Possiamo allora scrivere per la merce 1:

[7]

Dove:

è il tasso di produzione normale,

è il tasso di crescita atteso

è il consumo.

Ricaviamo:

[8]

Si vede che la crescita dipende dalla tecnologia, dalla distribuzione del reddito, dal saggio di profitto normale e dalla crescita attesa. In equilibrio, varrà la nota “golden rule” in cui il saggio di profitto è uniforme e la crescita attesa si realizza. A questo punto introduciamo la dinamica. Ipotizziamo un tasso di crescita atteso esogeno e uniforme. Abbiamo:

[9]

Dove:

è un parametro di adattamento

è il coefficiente dell’output settoriale

è il vettore dei saggi di profitto (in questo caso composto da due elementi)

b è una funzione che misura l’influenza del settore considerato con le seguenti proprietà:

e infine f, funzione legata al saggio di profitto settoriale ha le seguenti proprietà:

I prezzi di mercato sono determinati dal principio della domanda effettuale (confronto tra offerta e domanda):

[10]

La domanda effettuale, espressa in termini di valore, si riferisce ai salari monetari, interamente spesi. Ne deriviamo i prezzi di mercato:

[11]

Dove

l sono i coefficienti di lavoro,

w, il salario, è posto uguale a 1 (numerario).

A questo punto possiamo ricavare i due saggi del profitto e le loro “proprietà”:

[12]

e vale:

I prezzi di mercato sono così derivati dal principio classico della domanda effettuale. La soluzione “naturale” è un punto fisso in cui, ovviamente:

[13]

A questo punto, per analizzare la stabilità della soluzione, si linearizza il modello. Risulterà, come sempre, che la stabilità del sistema deriva dai valori che diamo ai parametri. A seconda dei casi avremo stabilità asintotica, instabilità, “biforcazioni”, ecc.

[1] Si ricordi il noto commento di Ricardo, che rivolgendosi all’amico James Mill scrisse: “So che presto sarò fermato dalla parola prezzo” (lettera del 30 dicembre 1915), intendendo con tale frase proprio la difficoltà di elaborare una teoria del valore salda.

[2] Si noti che per Marx è vero che “sono le merci prodotte nelle condizioni più favorevoli che regolano il valore” solo quando la domanda eccede l’offerta, qui abbiamo esteso questa ipotesi, supponendo la possibilità, per il produttore più innovativo, di poter aumentare la propria produzione senza ostacoli. Per altro una simile “estensione” è ipotizzata da vari autori. Si noti per esempio il seguente passo: “Quando alcuni dei produttori abbiano adottato il nuovo metodo, la concorrenza tra essi e coloro che ancora usano il vecchio metodo sarà in generale sufficiente a rendere effettivo il nuovo sistema di prezzi.” (in Garegnani, Valore e domanda effettiva, Einaudi, 1979, p. 137).

[3] “Quanto la concorrenza ottiene, innanzitutto in una sfera di produzione, è di ridurre i vari valori individuali delle merci ad un unico valore di mercato e ad un unico prezzo di mercato.” (Il Capitale, III, capitolo X).

[4] Questa idea, basilare nella teoria classica ed espressamente esposta da Marx, ha alla base l’ipotesi che i fattori casuali, se aggregati per settore o per periodi, abbiano effetto nullo. Matematicamente si tratta di ipotizzare un processo che segua il Teorema di Gauss-Markov, sia cioè un white noise. Torneremo su questo.

[5] Come dice Marx: “ciò che regola il principio della domanda, risulta essenzialmente dal rapporto che esiste tra le diverse classi e dalla loro rispettiva posizione economica” (Il Capitale, III, p. 224).

[6] Si noti che in questo saggio parliamo sempre e solo di prezzo normale. Con questo termine intendiamo compendiare tutte le diverse locuzioni dei classici, sostanzialmente equivalenti, come prezzo “naturale”, prezzo di produzione ecc. Come ricordato nel testo, ci sembra che questo termine incorpori anche la funzione regolativa che il prezzo normale ha nel processo produttivo.

[7] In queste pagine cercheremo di sintetizzare tutta la diatriba efficacemente esposta in Garegnani, Su alcuni presunti ostacoli alla tendenza dei prezzi “di mercato” verso i prezzi “naturali”, in Caravale 1994. Non riusciremo certo qui ad analizzare i molteplici e complessi problemi esposti in quello scritto. Cercheremo di trarne alcuni spunti soprattutto ai fini della discussione che affronteremo in seguito sulla “dinamica”.

[8] Intendiamo per saggio di salario “massimo” quello in corrispondenza del quale il saggio del profitto è nullo.

[9] Si noti che qui e in tutto questo lavoro con p intendiamo i prezzi normali, con m i prezzi ottenuti in condizioni non normali (i prezzi di mercato) e con e i saggi del profitto e del salario normali.

[10] Vi è da notare che nel sistema di equazioni proposto vi è un’implicita assunzione di costanza dei prezzi tra i cicli produttivi. Per rendere più raffinato il modello esposto occorrerebbe discutere di differenti ipotesi sulle aspettative. Qui non possiamo addentrarci in tutto ciò.

[11] Si noti che con a indichiamo la prima parentesi dei secondi membri delle equazioni del blocco [3], ovvero i coefficienti della produzione moltiplicati per i prezzi dei rispettivi mezzi di produzione.

[12] In tutto il saggio non prendiamo in considerazione il ruolo che potrebbero avere dei ritardi in questi movimenti. L’ipotesi implicita è che i flussi siano comunque più rapidi dei cambiamenti delle posizioni di equilibrio. Questo discende dalla concezione che avevano i classici e Marx dell’equilibrio come posizione stabile di lungo periodo (senza nulla implicare sulla possibilità che l’economia capitalista ha di raggiungerlo concretamente: Marx rigettava la legge di Say). Nota per esempio Marx che quando si assiste a un cambiamento del prezzo, questo si deve quasi sicuramente a un mutamento nelle condizioni di produzione e non a una variazione del saggio del profitto che si muove molto più lentamente del progresso tecnico:

“Nonostante i grandi cambiamenti che...si verificano costantemente negli effettivi saggi di profitto delle particolari sfere di produzione, un cambiamento reale del saggio generale del profitto che non sia l’eccezionale risultato di avvenimenti economici straordinari, è l’assai lenta opera di una serie di oscillazioni che si compiono durante un periodo di tempo molto lungo...Un cambiamento dei prezzi di produzione che avvenga in un periodo di tempo più breve (prescindendo dalle oscillazioni dei prezzi di mercato) ha quindi sempre la sua spiegazione prima facie in un effettivo cambiamento di valore delle merci.” (Il Capitale, III, p. 207, enfasi mia).

[13] Con r indichiamo il vettore dei saggi del profitto. Chiaramente la possibilità di individuare il minimo di questo vettore presuppone alcune informazioni sulla loro ordinabilità.

[14] L’equazione differenziale così introdotta è molto importante perché include un meccanismo di aggiustamento automatico. In seguito torneremo su questo punto.

[15] Si osservi che abbiamo introdotto, con una piccola forzatura terminologica, l’espressione “ ” intendendo con essa “si muove con”.

[16] E’ interessante notare che questo limite introduce una “non linearità” nel sistema, ponendo un ostacolo al funzionamento dello stesso. Il sistema non è libero di muoversi: giunto a un ostacolo deve tornare indietro, come un pendolo che, con un’oscillazione, si trovi a toccare un muro. Sulle conseguenze di queste non linearità, soprattutto in un contesto macroeconomico, cfr. Goodwin, Saggi di analisi dinamica, La Nuova Italia, 1982.

[17] Nota che nel sistema di Sraffa, il processo produttivo è “quadrato”, nel senso che ogni merce che ci interessa ai fini del saggio normale del profitto è una merce base. Questa idea era già contenuta nello schema presentato da Bortkiewicz in un lavoro pionieristico sul problema della trasformazione.

[18] Cfr. Garegnani, op. cit., pagg. 182-185. Si osservi che il processo di equalizzazione dei saggi di profitto avrà un numero di passi necessariamente minore di n, data la nozione di saggio del profitto normale (soprattutto se si considera tale saggio come il saggio medio dell’economia). Tuttavia questa serie finita vale nell’ipotesi di aggiustamento statico. Nella realtà dinamica delle economie capitalistiche sarà una tendenza che non si realizzerà mai, pur avendo il ruolo basilare di orientare le scelte di investimento operando come strumento della divisione sociale (inconscia) del lavoro.

[19] Si veda D’Orlando F., Criteri di determinazione e stabilità degli equilibri nella teoria economica di tipo classico, in “Studi Economici” n. 62-1998.

[20] Criteri di determinazione..., op. cit., p. 60.

[21] Ibidem, p. 61.

[22] A tal proposito cfr. lo scritto Cambiamenti e paragoni, in cui Garegnani obietta alla Robinson che il suo attacco alla teoria marginalista è una semplice negazione di un’ipotesi di fatto, contro la critica sraffiana che mira a rivelare un’incoerenza logica della teoria, in Valore e domanda effettiva, op. cit., p. 126.

[23] Criteri di determinazione..., op. cit., p. 60.

[24] Ibidem, p. 51.

[25] Ibidem, p. 74.

[26] Per una disamina critica del ruolo della matematica in economia si veda l’introduzione di Dobb al suo Storia del pensiero economico, Editori Riuniti, 1974.

[27] Si noti che lo stesso Adam Smith aveva esplicitamente parlato di gravitazione rifacendosi alla fisica newtoniana (i movimenti dei pianeti che si “perturbano” uno con l’altro). E nella Ricchezza delle nazioni scrive: “il prezzo naturale...è dunque come se fosse il prezzo centrale, verso il quale gravitano continuamente i prezzi di tutte le merci” (in Dobb, op. cit., p. 46). Ma Marx cercò di spiegare anche i continui spostamenti dall’equilibrio, con un’analisi che ammetteva la possibilità di una crisi sistemica da sovrapproduzione.

[28] Continuando l’analogia, si potrebbe osservare, come con l’esperimento di Foucault, che il pendolo compirà anche un percorso circolare corrispondente al moto della Terra. Tale movimento è ben più lento dell’altro, proprio come nel caso in questione, il movimento dell’innovazione tecnologica è più lento della variazione dei prezzi relativi. L’importante è comunque l’idea che esista un processo di modifica delle condizioni del processo produttivo molto più lento di questa gravitazione. Negando quest’idea si nega l’esistenza di una posizione di equilibrio di lungo periodo.

[29] Sarebbe inutile perché tale compito è stato affrontato da studiosi certo ben più idonei dello scrivente allo scopo. La nostra non sarebbe quindi che una magra sintesi di questi notevoli lavori di cui si da qualche esempio in bibliografia. Nell’appendice proveremo a illustrare alcune di queste tecniche.

[30] Cfr. L. Boggio, The Dynamic Stability of Production Prices: a synthetic discussion of models and results, in “Political Economy” 6-1990.

[31] Cerchiamo di chiarire i formalismi introdotti. Innanzitutto: il saggio del profitto normale è unico, ma si parla di vettore perché, per esigenze di moltiplicazione tra vettori, si considera quel vettore composto dal saggio normale del profitto postmoltiplicato per un vettore E, che ha tutti 0 tranne un 1 in una determinata posizione (ovvero il vettore E1 è così composto: (1,0,0,0...), il vettore E2 (0,1,0,0...) ecc.

Il vettore diagonalizzato, tipico di questi modelli, deriva dalle ipotesi sulla tecnologia e sempre da esigenze di moltiplicazione tra vettori. La funzione “sign-preserving”, come dice il termine, ha la proprietà di preservare, nell’applicazione al suo dominio, il segno della variabile indipendente.

[32] In questo senso non possiamo che ritenere un profondo errore filosofico, ancor prima che teorico, l’idea espressa da M. Lippi come segue: “classical economists’ ideas about gravitation suffer of a fundamental weakness due to inability to deal property with feedback effects” (in “Political Economy” 6-1990). L’idea che i classici sbagliassero per un’ignoranza tecnica è veramente idealista da cima a fondo.

[33] E’ interessante notare che lo stesso Marx parla esplicitamente di questa idea: “In un certo numero di sfere di produzione il capitale che vi è impiegato ha una composizione media... In tali sfere di produzione il prezzo di produzione delle merci prodotte corrisponde esattamente o in modo approssimativo al loro valore espresso in denaro. Sarebbe possibile, in base a ciò, giungere ad un limite matematico, anche quando non si avesse a disposizione alcun altro metodo.” (Il Capitale, III, p. 215, enfasi mia).

Occorre solo aggiungere che, come ora mostreremo, per l’appunto adesso abbiamo a disposizione anche altri metodi.

[34] Per un’analisi dettagliata delle ipotesi e delle condizioni necessarie per la definizione della funzione di Liapunov cfr. Gandolfo, Metodi di dinamica economica, II, Isedi, 1971, capitolo II.

[35] Tutti questi modelli sono presentati nel libro Competition, Instability, and Nonlinear Cycles, Springer-Verlag, 1986. Come si può vedere in quella sede, i modelli tipici di questo filone partono assumendo uno schema à la Leontiev-Sraffa e poi sintetizzano la gravitazione tramite le funzioni di Liapunov. Poi vengono introdotti strumenti matematici più avanzati (metodi del ciclo limite, teoremi di ergodicità ecc.) per analizzare il comportamento del sistema. E’ anche curioso notare come molti di questi economisti, pur spinti da intenzioni positive, abbiano le idee poco chiare per quanto riguarda la teoria economica vera e propria. Così creano bizzarri miscugli di teorie con pezzi tratti da Marx, da Walras, da Sraffa e così via. Questa confusione non inficia ovviamente l’utilità degli strumenti matematici da essi introdotti, semplicemente impedisce loro di servirsene a dovere. Notiamo infine che l’input-output analysis, che fornisce un po’ lo sfondo a tutte queste elaborazioni, si fonda a sua volta su strumenti matematici, per altro ben noti, come la programmazione lineare, i Teoremi di Perron-Frobenius ecc.

[36] Come dice Marx: “Il rapporto tra domanda e offerta spiega da un lato unicamente gli scarti tra prezzi di mercato e valori di mercato, d’altro lato la tendenza all’equilibrio di tali oscillazioni” (Il Capitale, III, p.234).

[37] Infatti, la differenza tra prezzi di mercato e di produzione è in media nulla. Lo si è visto anche nello schema presentato nel paragrafo 5 (in particolar modo con le equazioni [2] e [4] ).

[38] Si veda S. Parrinello, Some Reflexions on Classical Equilibrium, Expectations and random Disturbances, in “Political Economy” 6-1990.

[39] Si veda Cook P., Nonlinear Dynamical Systems, Prentice Hall, 1986, capitolo III.

[40] Questo modello è ripreso da I. Kubin, Market prices and natural prices, in , in “Political Economy” 6-1990.

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• Sraffa P., Produzione di merci a mezzo di merci, Einaudi, 1960
• Steedman J., Natural prices, differential profit rates and the Classical competitive process, in “The Manchester School of Economic and Social Studies”, 2-1984